niklasl skrev:
Det kan appliceras på en mängd olika förhållanden, t ex fönsterrutor såväl som filmrutor.
Jo, självklart kan vilka måttförhållanden som helst appliceras på vad som helst. Men resultatet behöver ju inte bli så lysande vackert för det.
Det den gamle greken , pytagoé eller ej började med linjen, sedemera kom geometriska tillämpningar till.
"Viktiga geometriska och aritmetiska tillämpningar av gyllene snittet upptäcktes tidigt av grekiska matematiker, kanske redan av pytagoréerna. Ekvationen för gyllene snittet kan uttryckas som 1 + 1 / ø = ø, där ø = a : b är den gyllene kvoten. Alltså är ø en rot till andragradsekvationen ø2 = ø + 1. Vidare är en gyllene rektangel med sidorna a + b och a uppdelbar i en kvadrat med sidan a plus en rektangel som är likformig med hela rektangeln och som har sidorna a + b. Den mindre rektangeln kan delas upp på samma sätt, osv. i oändlighet. Något sådant kan emellertid inträffa endast om ø = (rot5 + 1) / 2 = 1,618… inte är ett rationellt tal. Det är möjligt att upptäckten av existensen av irrationella tal gick till på just det här viset, den upptäckt som på ett avgörande sätt skulle komma att påverka den grekiska matematikens hela vidare utveckling.
I Euklides Elementa spelar gyllene snittet och ekvationen för ø en stor roll, bl.a. därför att diagonalerna i en regelbunden femhörning delar varandra enligt gyllene snittet samtidigt som ø är förhållandet mellan diagonalen och sidan i en sådan femhörning.
De välkända Fibonaccio-talen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … är definierade så så att varje tal och dess föregångare i följden har en summa som är lika med det efterföljande talet, och ett förhållande som är en (för stora tal allt bättre) approximation till det gyllene talet ø. T.ex. är 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625, osv. En gyllene rektangel har därför sidor ungefär i förhållandet 8 : 5 eller 13 : 8. Av ekvationen ø = 1 + 1 / ø följer f.ö. att ø kan utvecklas i oändligt kedjebråk som ø = 1 + 1 / (1 + 1 / (…)), med de succesiva approximationerna 1, 1 + 1 / 1 = 2, 1 + 1 / (1 + 1 / 1) = 3 / 2, 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / 1)) = 5 / 2, …, dvs. just de approximationer som man erhåller med hjälp av Fibonacci-följden."
och inflikar följande kuriosa.
